Sterkteberekening

Eenvoudige berekening

Niet volgens het laatste Bouwbesluit,. De berekening is bedoeld om duidelijk te maken, welke factoren de berekening beïnvloeden.

Stap 1

Je kan je oriënteren op de sterkteleer met de berekening van een bij A uit een muur stekende balk (zie figuur) Om te vermijden dat de balk bij een belasting kapot gaat controleren we de door de belasting optredende schuifspanningen en buigspanningen (zie hierna) in de zwaarst belaste doorsnede bij A waar het buigend moment het grootst is. Dit moment is gelijk aan de kracht(en) vermenigvuldigd maal de afstand loodrecht op de richting van de kracht.

Voorbeeld figuur bij de berekening. 

M = F * a

• M = buigend moment ter plaatse van de inklemming
• F = kracht (in Newton)
• a = minimale afstand van de werklijn van de kracht naar de inklemming bij A

Een inklemming is een constructie waar horizontale en verticale reacties en een buigend moment zonder draaiing bij de muur opgenomen kunnen worden. Als een ingeklemde balk van 2 m lang op het uiteinde belast wordt door een kracht P = 2,0 kN naar beneden dan is de verticale reactie V_AP in A (zie figuur) is vanwege het evenwicht kN -> 2,0 omhoog.

Het eigen gewicht (een lijnlast q in kN/m) bij een gekozen hoogte h = 225 mm en een gekozen breedte b = 70 mm van een balk is

q = 0,225 m * 0,07 m * 5 kN/m³ (soortelijk gewicht)
q = 0,08 kN/m

Uit het evenwicht van q volgt
V_Aq = ql = 0,08 * 2 = 0,16 kN

De totale verticale reactie bij A is dan
V_A = V_AP + V_Aq = 2,16 kN

Er treedt ten gevolge van de verticale reactie V_A in doorsnede A een verticale schuifspanning op van
τ_A = V_A/bh
τ_A = 2,160 N/(225 mm * 70 mm)
τ_A = 0,14 N/mm² < 0,8 N/mm² = 2,0 (afschuifsterkte bij de gangbare houtkwaliteit C18) * 0,7 (factor voor buitenklimaat en belastingsduur) / {1,35 (belastingsfactor) *1,3 (materiaalfactor)}

Omdat de afschuifspanning kleiner is dan de gecorrigeerde afschuifsterkte, voldoet de afschuifspanning van deze constructie.

Stap 2

Het buigende moment in de zwaarst belaste doorsnede A t.g.v. P wordt:
M_AP = 2,0 kN * 2 m = 4,0 kNm

Het moment ten gevolge van het eigen gewicht veroorzaakt
M_Aq = ql (= kracht t.g.v. q) * 1/2 (=zwaartepuntsafstand)
M_Aq = ql²/ 2 = 0,08 * 2²/ 2 = 0,16 kNm
M_A = M_AP + M_Aq = 4,16 kNm

Het weerstandsmoment W³⁾ bepaalt de spanningen σ in een doorsnede ten gevolge van een buigend moment M volgens
σ = M/W

Heeft de balk over de gehele lengte een dezelfde rechthoekige doorsnede, dan is deze rechthoekige balk prismatisch en dan is
W = bh²/ 6 = 70 * 225²/ 6 = 590,625 mm³

Aan de onder- en bovenrand van de balk (zie figuur) is er dan een horizontale buigspanning
σ_A = 4,16 kNm/590.625 mm³ = 7,0 N/mm²
7,2 N/mm² = 18 (buigsterkte C18) * 0,7 (factor voor buitenklimaat en belastingsduur)/{1,3 (materiaalfactor) * 1,35 (belastingsfactor)}

Omdat de buigspanning kliener is dan de gecorrigeerde buigsterkte, voldoet de buigspanning van deze constructie.

Stap 3

Ook controleren we de doorbuiging van de balk.
Bij een ingeklemde balk is de directe elastische vervorming
u_BP;elastisch in B: u_BP;elastisch = Pl³/ {3 E¹⁾ I²⁾} =
2000 N * 2000³ mm³/ { 3 * 9000 N/mm² * (1/12) * 70 mm * 225³ mm³ } = 8,9 mm

Bij een ingeklemde balk veroorzaakt q de directe elastische vervorming
u_BP;elastisch = ql⁴/ { 8 EI } =
0,08 N/mm * 2000⁴ mm⁴/ { 8 * 9000 N/mm² * (1/12) * 70 mm * 225³ mm³ } = 0,3 mm
u_B;elastisch = 8,9 + 0,3 = 9,2 mm

De totale doorbuiging van de balk is gelijk aan de elastische directe doorbuiging u_B;elastisch vermeerderd met de tijdsafhankelijke doorbuiging u_B;kruip

u_B;kruip = elastische vervorming ten gevolge van de permanente belasting + 0,6(kruipfactor) * 0,4(als de veranderlijke belasting hier voor 40% van de tijd aanwezig zou zijn) * de elastische vervorming ten gevolge van de veranderlijke belasting.
u_B;kruip = 0,3 + 0,6 * 0,4 * 8,9 = 2,4 mm

u_B;totaal = 9,2 + 2,4 = 11,6 mm

u_B;on = de onmiddellijk optredende doorbuiging in B t.g.v. de permanente belasting = u_Bq;elastisch = 0,3 mm

u_B;bij = u_B;totaal – u_B;on

Eis A) u_B;bij = 11,6 – 0,3 = 11,3 mm < 12 mm = 0,006 * 2.000 mm = 0,006L = de bijkomende doorbuigingseis voor een uitkragende en dus ingeklemde ligger

Eis B) u_B;totaal = 11,6 mm < 16 mm = 0,008 * 2000 = 0,008L

Omdat hier ook u_B;totaal = 11,6 mm< 0,006 * 2.000 mm is tegelijkertijd ook aan eis A) voldaan zodat u_B;bij hier niet berekend had hoeven worden.

Omdat de optredende vervormingen kleiner zijn dan de maximaal toelaatbare vervorming, voldoen de vervormingen van deze constructie.

Conclusie: De materiaalsterkte wordt goed benut, daardoor is de constructie economisch.

¹⁾
E = elasticiteitsmodulus = spanning/ [ rek = verlenging per lengte ] Bij de houtkwaliteit C18 is E = 9.000 N/mm²

²⁾
I = traagheidsmoment = {∫∫z² dy dz met z = afstand tot het midden van de balk, integratiegrenzen voor z h/ 2 en -h/ 2 en voor y de zijranden } = bh³/ 12, als de doorsnede rechthoekig is, omdat dan ∫dy = b

³⁾
W = I/ (h/ 2). Bij rechthoekige doorsnede wordt dan
W = bh³/ 12/ (h/ 2) = bh²/ 6.